Gyllene Snittet: Härledning av formel

Definitionen av gyllene snittet säger att $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$

Divideras täljare och nämnare i vänsterledet med $b$ erhålls

$\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}} = \varphi$

Ur detta får vi sedan
$\frac{1+\varphi}{\varphi} = \varphi \iff \varphi^2 - \varphi - 1 \ = \ 0,$

vilket är tillåtligt, då $\varphi$ är en kvot mellan två längder och uppenbart är nollskild. Denna andragradsekvation har då två reella rötter, nämligen:

$\varphi_{1,2} = {1 \pm \sqrt{5} \over 2}$ .

Decimal approximation av rötterna

$\varphi_1 = {1 + \sqrt{5} \over 2} \approx 1.618033988749$

$\varphi_2 = {1 - \sqrt{5} \over 2} \approx -0.618033988749$

Den andra lösningen är uppenbart felaktig, då $\varphi$ som en kvot mellan längder måste vara positiv. Inte desto mindre är den intressant, eftersom $-\varphi_2=1/\varphi_1$

Källa: Wikipedia, sökord: gyllene snittet, tillgängligt via http://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Gyllene_snittet&oldid=24659541 (2014-04-24)

Gyllene Snittet

Meny

Härledning av formel

Inga kommentarer:

Skicka en kommentar